module plfa.part1.Negation where

本章介绍了否定的性质，讨论了直觉逻辑和经典逻辑。

Imports

open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (_≡_; refl)
open import Data.Nat.Base using (ℕ; zero; suc)
open import Data.Empty using (⊥)
open import Data.Sum.Base using (_⊎_; inj₁; inj₂)
open import Data.Product.Base using (_×_)
open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
open import plfa.part1.Isomorphism using (_≃_; extensionality)

否定

给定命题 A，当 A 不成立时，它的否定形式 ¬ A 成立。 我们将否定阐述为「蕴涵假」来形式化此概念。

¬_ : Set → Set
¬ A = A → ⊥

这是归谬法（Reductio ad Absurdum）的一种形式：若从 A 可得出结论 ⊥（即谬误）， 则 ¬ A 必定成立。

¬ A 成立的证据的形式为：

λ{ x → N }

其中 N 是类型为 ⊥ 的项，它包含类型为 A 的自由变量 x。换言之，¬ A 成立 的证据是一个函数，该函数将 A 成立的证据转换为 ⊥ 成立的证据。

给定 ¬ A 和 A 均成立的证据，我们可以得出 ⊥ 成立。换言之，若 ¬ A 和 A 均成立， 那么我们就得到了矛盾：

¬-elim : ∀ {A : Set}
  → ¬ A
  → A
    ---
  → ⊥
¬-elim ¬x x = ¬x x

在这里，我们将 ¬ A 的证据写作 ¬x，将 A 的证据写作 x。这表示 ¬x 必须是类型为 A → ⊥ 的函数，因此应用 ¬x x 得到的类型必为 ⊥。注意此规则只是 →-elim 的一个特例。

我们将否定的优先级设定为高于析取和合取，但低于其它运算：

infix 3 ¬_

因此，¬ A × ¬ B 会解析为 (¬ A) × (¬ B)，而 ¬ m ≡ n 会解析为 ¬ (m ≡ n)。

在经典逻辑中，A 等价于 ¬ ¬ A。而如前文所述，Agda 中使用了直觉逻辑， 因此我们只有该等价关系的一半，即 A 蕴涵 ¬ ¬ A：

¬¬-intro : ∀ {A : Set}
  → A
    -----
  → ¬ ¬ A
¬¬-intro x  =  λ{¬x → ¬x x}

令 x 为 A 的证据。我们要证明若假定 ¬ A 成立，则会导出矛盾，因此 ¬ ¬ A 必定成立。令 ¬x 为 ¬ A 的证据。那么以 ¬x x 为证据，从 A 和 ¬ A 可以导出矛盾。 这样我们就证明了 ¬ ¬ A。

以上描述的等价写法如下：

¬¬-intro′ : ∀ {A : Set}
  → A
    -----
  → ¬ ¬ A
¬¬-intro′ x ¬x = ¬x x

在这里我们简单地将 λ-项的参数转换成了该函数的额外参数。 我们通常会使用后面这种形式，因为它更加紧凑。

我们无法证明 ¬ ¬ A 蕴涵 A，但可以证明 ¬ ¬ ¬ A 蕴涵 ¬ A：

¬¬¬-elim : ∀ {A : Set}
  → ¬ ¬ ¬ A
    -------
  → ¬ A
¬¬¬-elim ¬¬¬x  =  λ x → ¬¬¬x (¬¬-intro x)

令 ¬¬¬x 为 ¬ ¬ ¬ A 的证据。我们要证明若假定 A 成立就会导出矛盾， 因此 ¬ A 必定成立。令 x 为 A 的证据。根据前面的结果，以 ¬¬-intro x 为证据可得出结论 ¬ ¬ A。根据 ¬¬¬x (¬¬-intro x)，我们可从 ¬ ¬ ¬ A 和 ¬ ¬ A 导出矛盾。这样我们就证明了 ¬ A。

另一个逻辑规则是换质换位律（contraposition），它陈述了若 A 蕴涵 B， 则 ¬ B 蕴涵 ¬ A：

contraposition : ∀ {A B : Set}
  → (A → B)
    -----------
  → (¬ B → ¬ A)
contraposition f ¬y x = ¬y (f x)

令 f 为 A → B 的证据，¬y 为 ¬ B 的证据。我们要证明，若假定 A 成立就会导出矛盾，因此 ¬ A 必定成立。令 x 为 A 的证据。根据 f x， 我们可从 A → B 和 A 我们可得出结论 B。而根据 ¬y (f x)，可从 B 和 ¬ B 得出结论 ⊥。这样，我们就证明了 ¬ A。

利用否定可直接定义不等性：

_≢_ : ∀ {A : Set} → A → A → Set
x ≢ y  =  ¬ (x ≡ y)

要证明不同的数不相等很简单：

_ : 1 ≢ 2
_ = λ()

这是我们第一次在 λ-表达式中使用谬模式（Absurd Pattern）。类型 M ≡ N 只有在 M 和 N 可被化简为相同的项时才能居留。由于 1 和 2 会化简为不同的正规形式，因此 Agda 判定没有证据可证明 1 ≡ 2。 第二个例子是，很容易验证皮亚诺公理中「零不是任何数的后继数」的假设：

peano : ∀ {m : ℕ} → zero ≢ suc m
peano = λ()

它们的证明基本上相同，因为谬模式会匹配所有类型为 zero ≡ suc m 的可能的证据。

鉴于蕴涵和幂运算之间的对应关系，以及没有成员的类型为假， 我们可以将否定看作零的幂。它确实对应于我们所知的算术运算，即

0 ^ n  ≡  1,  if n ≡ 0
       ≡  0,  if n ≢ 0

确实，只有一个 ⊥ → ⊥ 的证明。我们可以用两种方式写出此证明：

id : ⊥ → ⊥
id x = x

id′ : ⊥ → ⊥
id′ ()

不过使用外延性，我们可以证明二者相等：

id≡id′ : id ≡ id′
id≡id′ = extensionality (λ())

根据外延性，对于任何在二者定义域中的 x，都有 id x ≡ id′ x， 则 id ≡ id′ 成立。不过没有 x 在它们的定义域中，因此其相等性平凡成立。

实际上，我们可以证明任意两个否定的证明都是相等的：

assimilation : ∀ {A : Set} (¬x ¬x′ : ¬ A) → ¬x ≡ ¬x′
assimilation ¬x ¬x′ = extensionality (λ x → contradiction x ¬x)

¬ A 的证据蕴涵任何 A 的证据都可直接得出矛盾。但由于外延性全称量化了使 A 成立的 x，因此任何这样的 x 都会直接导出矛盾，同样其相等性平凡成立。

练习 <-irreflexive（推荐）

利用否定证明严格不等性满足非自反性， 即 n < n 对于任何 n 都不成立。

-- 请将代码写在此处

练习 trichotomy（实践）

请证明严格不等性满足三分律， 即对于任何自然数 m 和 n，以下三条刚好只有一条成立：

  • m < n
  • m ≡ n
  • m > n

「刚好只有一条」的意思是，三者中不仅有一条成立，而且当其中一条成立时， 其它二者的否定也必定成立。

-- 请将代码写在此处

练习 ⊎-dual-×（推荐）

请证明合取、析取和否定可通过以下版本的德摩根定律（De Morgan’s Law）关联在一起。

¬ (A ⊎ B) ≃ (¬ A) × (¬ B)

此结果是我们之前证明的定理的简单推论。

-- 请将代码写在此处

以下命题也成立吗？

¬ (A × B) ≃ (¬ A) ⊎ (¬ B)

若成立，请证明；若不成立，你能给出一个比同构更弱的关系将两边关联起来吗？

直觉逻辑与经典逻辑

在 Gilbert 和 Sullivan 的电影《船夫》（The Gondoliers）中， Casilda 被告知她还是个婴儿时，就被许配给了巴塔维亚国王的继承人。 但由于一场动乱，没人知道她被许配给了两位继承人 Marco 和 Giuseppe 中的哪一位。她惊慌地哀嚎道：「那么你的意思是说我嫁给了两位船夫中的一位， 但却无法确定是谁？」对此的回答是：「虽然不知道是谁，但这件事却是毫无疑问的。」

逻辑学有很多变种，而经典逻辑和直觉逻辑之间有一个区别。 直觉主义者关注于某些逻辑学家对无限性本质的假设，坚持真理的构造主义的概念。 具体来说，它们坚持认为 A ⊎ B 的证明必须确定 A 或 B 中的哪一个成立， 因此它们会解决宣称 Casilda 嫁给了 Marco 或者 Giuseppe，直到其中一个被确定为 她的丈夫为止。或许 Gilbert 和 Sullivan 期待直觉主义，因为在故事的结局中， 继承人是第三个人 Luiz，他和 Casilda 已经顺利地相爱了。

直觉主义者也拒绝排中律（Law of the Excluded Middle）————该定律断言，对于所有的 A，A ⊎ ¬ A 必定成立————因为该定律没有给出 A 和 ¬ A 中的哪一个成立。 海廷（Heyting）形式化了希尔伯特（Hilbert）经典逻辑的一个变种，抓住了直觉主义中可证明性的概念。 具体来说，排中律在希尔伯特逻辑中是可证明的，但在海廷逻辑中却不可证明。 进一步来说，如果排中律作为一条公理添加到海廷逻辑中，那么它会等价于希尔伯特逻辑。 柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）证明了两种逻辑紧密相关：他给出了双重否定翻译，即一个式子在经典逻辑中 可证，当且仅当它的双重否定式在直觉逻辑中可证。

「命题即类型」最初是为直觉逻辑而制定的。这是一种完美的契合，因为在直觉主义的 解释中，式子 A ⊎ B 刚好可以在给出 A 或 B 之一的证明时得证，因此对应于析取 的类型是一个不交和（Disjoint Sum）。

（以上内容部分取自 “Propositions as Types”, Philip Wadler, Communications of the ACM，2015 年 12 月。）

排中律是不可辩驳的

排中律可形式化如下：

postulate
  em : ∀ {A : Set} → A ⊎ ¬ A

如之前所言，排中律在直觉逻辑中并不成立。然而，我们可以证明它是 不可辩驳（Irrefutable）的，即其否定的否定是可证明的（因而其否定式不可证明）：

em-irrefutable : ∀ {A : Set} → ¬ ¬ (A ⊎ ¬ A)
em-irrefutable = λ k → k (inj₂ (λ x → k (inj₁ x)))

解释此代码的最佳方式是交互式地推导它：

em-irrefutable k = ?

给定 ¬ (A ⊎ ¬ A) 的证据 k，即一个函数，它接受一个类型为 A ⊎ ¬ A 的值， 返回一个空类型的值，我们必须在 ? 处填上一个返回空类型的项。得到空类型值 的唯一方式就是应用 k 本身，于是我们据此展开此洞：

em-irrefutable k = k ?

我们需要用类型为 A ⊎ ¬ A 的值填上这个新的洞。由于目前我们并没有类型为 A 的值， 因此先处理第二个析取：

em-irrefutable k = k (inj₂ λ{ x → ? })

第二个析取接受 ¬ A 的证据，即一个函数，它接受类型为 A 的值，返回空类型的值。 我们将 x 绑定到类型为 A 的值，现在我们需要在洞中填入空类型的值。同样， 得到空类型的值的唯一方法就是将 k 应用到其自身，于是我们展开此洞：

em-irrefutable k = k (inj₂ λ{ x → k ? })

这次我们就有一个类型为 A 的值了，其名为 x，于是我们可以处理第一个析取：

em-irrefutable k = k (inj₂ λ{ x → k (inj₁ x) })

现在没有洞了！这样就完成了证明。

下面的故事说明了我们创建的项的行为。 （向 Peter Selinger 道歉，他讲的是个关于国王，巫师和贤者之石的类似的故事。）

曾经有一个恶魔向一个男人提议：「要么 (a) 我给你 10 亿美元，要么 (b) 如果你付给我 10 亿美元，我可以实现你的任何一个愿望。当然，得是我决定提供 (a) 还是 (b)。」

男人很谨慎。他需要付出他的灵魂吗？ 恶魔说不用，他只要接受这个提议就行。

于是男人思索着，如果恶魔向他提供 (b)，那么他不太可能付得起这个愿望。 不过倘若真是如此的话，能有什么坏处吗？

「我接受」，男人回答道，「我能得到 (a) 还是 (b)？」

恶魔顿了顿。「我提供 (b)。」

男人很失望，但并不惊讶。「果然是这样」，他想。 但是这个提议折磨着他。想想他都能用这个愿望做些什么！ 多年以后，男人开始积累钱财。为了得到这笔钱，他有时会做坏事， 而且他隐约意识到这一定是魔鬼所想到的。最后他攒够了 10 亿美元，恶魔再次出现了。

「这是 10 亿美元」，男人说着，交出一个手提箱。「实现我的愿望吧！」

恶魔接过了手提箱。然后他说道，「哦？我之前说的是 (b) 吗？抱歉，我说的是 (a)。 很高兴能给你 10 亿美元。」

于是恶魔将那个手提箱又还给了他。

（以上内容部分取自 “Call-by-Value is Dual to Call-by-Name”, Philip Wadler, International Conference on Functional Programming, 2003 年。）

练习 Classical（延伸）

考虑以下定律：

  • 排中律：对于所有 A，A ⊎ ¬ A。
  • 双重否定消去：对于所有的 A，¬ ¬ A → A。
  • 皮尔士定律：对于所有的 A 和 B，((A → B) → A) → A。
  • 蕴涵表示为析取：对于所有的 A 和 B，(A → B) → ¬ A ⊎ B。
  • 德摩根定律：对于所有的 A 和 B，¬ (¬ A × ¬ B) → A ⊎ B。

请证明其中任意一条定律都蕴涵其它所有定律。

-- 请将代码写在此处

联系 Stable（延伸）

若双重否定消去对某个式子成立，我们就说它是稳定（Stable）的：

Stable : Set → Set
Stable A = ¬ ¬ A → A

请证明任何否定式都是稳定的，并且两个稳定式的合取也是稳定的。

-- 请将代码写在此处

标准库

本章中的类似定义可在标准库中找到：

import Relation.Nullary using (¬_)
import Relation.Nullary.Negation using (contradiction; contraposition)

Unicode

本章使用了以下 Unicode：

¬  U+00AC  否定符号 (\neg)
≢  U+2262  不等价于 (\==n)